十字交乘法(Cross-product method)

前言

在教导十字交乘法之前，学生应先具备因数与倍数相乘之概念，且对于加减乘除之运算能有效掌握，避免其于十字交乘

法中粗心算错。另外十字交乘法的教学时机通常在二次方程中，需要解x的两个相异解时，因此可介绍此种有效率的快

速解法，以供学生做练习。

教学步骤

认识系数

首先在可透过代号的方式，来探讨各系数与因式之间的关系，举例而言(X+A)(X+B)=X²+

(A+B)X+AB，从上述式子可了解到当X的解为-A与-B时，其因式可写成(X+A)(X+B)，因此展开后则可写成

X²+(A+B)X+AB，如此一来，如果要反向求得其解时，则可运用接下来介绍之十字交乘法。

反向求解

利用上述的系数关系X²+(A+B)X+AB，可看出一次项之系数为因式中的A与B相加，而常数项则为A与

B相乘，透过此式子，可发项特殊之现象，即为一次项为两相异解之相加，而常数项则为两相异解之相乘。因此而发展出

十字交乘法之运用，即将二次项的系数拆成两数相乘放于左边，将常数项之系数也拆成想数相乘放于右边，因此左上方与

右下方之数字做相乘，而左下方与右上方之数字做相乘，而此两者相乘之数字做相加后须等于一次项之系数，如相符时，

则代表求得其俩因式相乘。而上述的求解方式中之图形类似于十字，因此则称为十字交乘法。

举例演练

举例而言，当方程为X²+6X-7时，左边上下则分别摆放1与1，右边则可摆放1与-7或者-1与7，但

因不知是何者为对，因此需皆作试算，假设试算1与-7时，当十字相乘时可得到1*1+1*(-7)，因此得到结果为-6，并不

符合一次项之系数6，因此推得此并非因式，进而演算另一种可能-1与7之组合，其十字交乘后为1*(-1)+1*7，此结果

为6，恰好符合一次项之系数6，因此即找到此方程之因式分解为(X-1)(X+7)。

(注1)

关键字

中文关键字：十字交乘法

英文关键字：Cross-product method

参考资料

注1李嘉淦/着。中学数学科教材教法，1986年初版，页366~371。千华出版公司。

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